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SVD原理和案例(奇异值分解)

以下内容来自刘建平Pinard-博客园的学习笔记

介绍

奇异值分解(Singular Value Decomposition,以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法,它不光可以用于降维算法中的特征分解,还可以用于推荐系统,以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结,并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

特征值和特征向量

首先回顾下特征值和特征向量的定义如下:

Ax=λxAx = \lambda x

其中 A是一个n×n矩阵, x 是一个 n 维向量,则λ\lambda是矩阵 A 的一个特征值,而 x是矩阵A的特征值λ\lambda所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢? 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值λ1≤λ2≤…≤λn,以及这n个特征值所对应的特征向量{w1,w2,…wn},,如果这n个特征向量线性无关,那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示:

A=WW1A = W\sum W^{-1}

其中W是这n个特征向量所张成的n×n维矩阵,而Σ为这n个特征值为主对角线的n×n维矩阵。

一般我们会把W的这n个特征向量标准化,即满足||wi||2=1, 或者说wiTwi=1w^T_iw_i=1,此时W的n个特征向量为标准正交基,满足WTW=IW^TW=I,即WT=W1W^T=W^{-1}, 也就是说W为酉矩阵

这样我们的特征分解表达式可以写成:

A=WWTA = W\sum W^T

注意到要进行特征分解,矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵,即行和列不相同时,我们还可以对矩阵进行分解吗?答案是可以,此时我们的SVD登场了。

SVD的定义

SVD也是对矩阵进行分解,但是和特征分解不同,SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵,那么我们定义矩阵A的SVD为:

A=UVTA = U\sum V^T

其中U是一个m×m的矩阵,Σ是一个m×n的矩阵,除了主对角线上的元素以外全为0,主对角线上的每个元素都称为奇异值,V是一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵,即满足UTU=I,VTV=IU^TU=I,V^TV=I。下图可以很形象的看出上面SVD的定义:

那么我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢?

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法,那么会得到n×n的一个方阵ATA。既然ATA是方阵,那么我们就可以进行特征分解,得到的特征值和特征向量满足下式:

(ATA)vi=λivi(A^TA)v_i = \lambda_iv_i

这样我们就可以得到矩阵ATAA^TA的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将ATAA^TA的所有特征向量张成一个n×n的矩阵V,就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

如果我们将A和A的转置做矩阵乘法,那么会得到m×m的一个方阵 AATAA^T。既然 AATAA^T是方阵,那么我们就可以进行特征分解,得到的特征值和特征向量满足下式:

(AAT)ui=λiui(AA^T)u_i = \lambda_iu_i

这样我们就可以得到矩阵AATAA^T的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将AATAA^T的所有特征向量张成一个m×m的矩阵U,就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

U和V我们都求出来了,现在就剩下奇异值矩阵Σ没有求出了。由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0,那我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。

我们注意到:

A=UΣVTAT=VΣTUTATA=VΣTUTUΣVT=VΣ2VTA=UΣ^VT⇒AT=VΣ^TU^T⇒A^TA=VΣ^TU^TUΣV^T=VΣ^2V^T

上式证明使用了:UTU=IU^TU=I,ΣTΣ=Σ2Σ^TΣ=Σ^2。可以看出ATAA^TA的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到AATAA^T的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方,也就是说特征值和奇异值满足如下关系:

σi=λiσ_i=\sqrt{\lambda_i}

这样也就是说,我们可以不用σi=Aviuiσ_i=\frac{Av_i}{u_i}来计算奇异值,也可以通过求出ATAA^TA的特征值取平方根来求奇异值。

SVD计算举例

这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为:

X={011110}X = \left\{\begin{matrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right\}


我们首先求出AATAA^TATAA^TA

AAT={011110}{011110}{110121011}AA^T = \left\{\begin{matrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right\} \left\{\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1&1&0 \end{matrix} \right\} \left\{\begin{matrix} 1&1&0\\ 1&2&1\\ 0&1&1 \end{matrix} \right\}

ATA={011110}{011110}{2112}A^TA = \left\{\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1&1&0 \end{matrix} \right\} \left\{\begin{matrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right\} \left\{\begin{matrix} 2&1\\ 1&2\\ \end{matrix} \right\}

接着求AATAA^T的特征值和特征向量:

进而求出ATAA^TA的特征值和特征向量:

利用Avi=σiuiAv_i=σ_iu_i,i=1,2求奇异值:

当然,我们也可以用σi=λiσ_i=\sqrt{\lambda_i}直接求出奇异值为3\sqrt{3}和1.

最终得到A的奇异值分解为:


SVD的一些性质

上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述,似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢?

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似,在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列,而且奇异值的减少特别的快,在很多情况下,前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说,我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说:

Am×n=Um×mΣm×nVn×nTUm×kΣk×kVk×nTA_{m×n}=U_{m×m}Σ_{m×n}V^T_{n×n}≈U_{m×k}Σ_{k×k}V^T_{k×n}

其中k要比n小很多,也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵Um×k,Σk×k,Vk×nTU_{m×k},Σ_{k×k},V^T_{k×n}来表示。如下图所示,现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

由于这个重要的性质,SVD可以用于PCA降维,来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法,将用户和喜好对应的矩阵做特征分解,进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法,比如潜在语义索引(LSI)。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

SVD用于PCA

主成分分析(PCA)原理总结中,我们讲到要用PCA降维,需要找到样本协方差矩阵XTXX^TX的最大的d个特征向量,然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出,在这个过程中需要先求出协方差矩阵XTXX^TX,当样本数多样本特征数也多的时候,这个计算量是很大的。

注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵XTXX^TX最大的d个特征向量张成的矩阵,但是SVD有个好处,有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵XTXX^TX,也能求出我们的右奇异矩阵V。也就是说,我们的PCA算法可以不用做特征分解,而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上,scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD,而不是我们我们认为的暴力特征分解。

另一方面,注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵,没有使用左奇异矩阵,那么左奇异矩阵有什么用呢?

假设我们的样本是m×n的矩阵X,如果我们通过SVD找到了矩阵XXTXX^T最大的d个特征向量张成的m×d维矩阵U,则我们如果进行如下处理:

Xd×n=Ud×mTXm×nX′_{d×n}=U^T_{d×m}X_{m×n}

可以得到一个d×n的矩阵X‘,这个矩阵和我们原来的m×n维样本矩阵X相比,行数从m减到了d,可见对行数进行了压缩。也就是说,左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的,右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩,也就是我们的PCA降维。


SVD小结

SVD作为一个很基本的算法,在很多机器学习算法中都有它的身影,特别是在现在的大数据时代,由于SVD可以实现并行化,因此更是大展身手。SVD的原理不难,只要有基本的线性代数知识就可以理解,实现也很简单因此值得仔细的研究。当然,SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强,有点黑盒子的味道,不过这不影响它的使用。

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六经蕴籍胸中久,一剑十年磨在手

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