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李宏毅机器学习-53-RL-03-Q-learning (Basic Idea)

Q-learning (Basic Idea)

DQN

为了在连续的状态和动作空间中计算值函数 Qπ(s,a)Q^{\pi}(s,a),我们可以用一个函数Qϕ(s,a)Q_{\phi}(\boldsymbol{s,a)}来表示近似计算,称为价值函数近似(Value Function Approximation)

Qϕ(s,a)Qπ(s,a)Q_{\phi}(s,a) ≈ Q^{\pi}(s,a)

其中

  • s,a 分别是状态 state 和动作 action 的向量表示
  • 函数 Qϕ(s,a)Q_{\phi}(s,a) 通常是一个参数为 ϕ\phi 的函数,比如神经网络,输出为一个实数,称为Q 网络(Q-network)

reward, value,value function

在讲接下来的内容之前,我们先来看一下reward, value,value function这三者到底有什么关系,到底指的是什么!

Reward 定义了强化学习问题中的目标。在每个时间步,环境向agent发送一个称为reward的单个数字。Agent的唯一目标是最大化其长期收到的total reward。因此,reward定义了对于agent什么是好的什么是坏的。Reward 是改变policy的主要依据;如果policy选择的action之后得到的是低奖励,则可以更改policy以在将来选择该情况下的某些其他action。Reward 通常是环境状态(states)和所采取的动作(action)的随机函数。

如果说reward表明的是在短时间内什么是好的,那么value function则指出从长远来看什么是好的。粗略地说,一个状态的value是一个agent从该状态开始,可以期望在未来积累的奖励总额。例如,一个状态可能总是会产生较低的即时奖励,但仍然具有较高的value,因为其他状态经常会产生高reward。为了进行类比,奖励有点像快乐(如果高)和痛苦(如果低),而value则对应于我们对环境处于特定状态的高兴或不满的更精确和有远见的判断。

Reward在某种意义上是主要的,而作为reward预测的value是次要的。没有reward就没有value,估计value的唯一目的就是获得更多reward。

然而,在制定和评估policy时,我们最关心的是value。Action的选择基于value的判断。我们寻求的action会带来最高value而非最高reward的状态,因为从长远来看,这些action会为我们带来最大的reward。

不幸的是,确定value要比确定reward要困难得多。reward基本上由环境直接给出,但value必须根据agent在其整个生命周期中所做的观察序列来估计和重新估计。实际上,我们考虑的几乎所有强化学习算法中最重要的部分是有效估计value的方法。

value估计的核心作用可以说是过去六十年中强化学习领域最重要的事情。


State Value Function

Q-learning 是 value-based 的方法。在 value-based 的方法里面,我们学习的不是策略,我们要学习的是一个 critic(评论家) critic要做的事情是评价现在的行为有多好或是有多不好。假设有一个actor(演员) π\pi,critic就是来评价这个actor的策略 π\pi 好还是不好,即 Policy Evaluation(策略评估)

注:「李宏毅深度强化学习」课程提到的 Q-learning,其实是 DQN。

DQN 是指基于深度学习的 Q-learning 算法,主要结合了价值函数近似(Value Function Approximation)与神经网络技术,并采用了目标网络和经历回放的方法进行网络的训练。

在 Q-learning 中,我们使用表格来存储每个状态 s 下采取动作 a 获得的奖励,即状态-动作值函数 Q(s,a)Q(s,a)

👉 这篇文章里有一个例子,可以参考

然而,这种方法在状态量巨大甚至是连续的任务中,会遇到维度灾难问题,往往是不可行的。因此,DQN 采用了价值函数近似的表示方法。

举例来说,有一种critic叫做 state value function(状态价值函数)。状态价值函数的意思就是说:假设actor叫做 π\pi,拿 π\pi 跟环境去做互动。假设 π\pi 看到了某一个状态 s,如果在玩 Atari 游戏的话,状态 s 是某一个画面,看到某一个画面的时候,接下来一直玩到游戏结束,期望的累积奖励有多大。所以 VπV^{\pi} 是一个函数,这个函数输入一个状态,然后它会输出一个标量( scalar)。这个标量代表说,π\pi 这个actor看到状态 s 的时候,接下来预期到游戏结束的时候,它可以得到多大的值。

举个例子,假设你是玩 space invader 的话,

  • 左边这个状态 s,这个游戏画面,Vπ(s)V^{\pi}(s) 也许会很大,因为还有很多的怪可以杀, 所以你会得到很大的分数。一直到游戏结束的时候,你仍然有很多的分数可以吃。
  • 右边这种情况你得到的 Vπ(s)V^{\pi}(s) 可能就很小,因为剩下的怪也不多了,并且红色的防护罩已经消失了,所以可能很快就会死掉。所以接下来得到预期的奖励,就不会太大。

这边需要强调的一个点是说,critic都是绑一个actor的,critic没有办法去凭空去评价一个状态的好坏,它所评价的东西是在给定某一个状态的时候, 假设接下来互动的actor是 π\pi ,那我会得到多少奖励。因为就算是给同样的状态,你接下来的 π\pi 不一样,你得到的奖励也是不一样的。

举例来说,在左边的情况,假设是一个正常的 π\pi ,它可以杀很多怪,那假设它是一个很弱的 π\pi,它就站在原地不动,然后马上就被射死了,那你得到的 Vπ(s)V^\pi(s)还是很小。所以critic的输出值取决于状态和actor。所以critic其实都要绑一个actor,它是在衡量某一个actor的好坏,而不是衡量一个状态的好坏。这边要强调一下,critic的输出是跟actor有关的,状态的价值其实取决于你的actor,当actor变的时候,状态价值函数的输出其实也是会跟着改变的。

再举个例子:

v这个值是和actor有关系的,比如阿光在很弱的时候,佐为觉得阿光的大马步飞是很差的,但是当阿光变强以后,佐为就觉得阿光下大马步飞是很棒的。这个例子也证明在计算VπV^{\pi} 的时候,actor自身也占据了很大的因素。

State Value Function Estimation

怎么衡量这个状态价值函数 Vπ(s)V^{\pi}(s) 呢? 有两种不同的做法:MC-based 的方法和 TD-based 的方法。

Monte-Carlo-based(MC,蒙特卡洛法)

Monte-Carlo(MC)-based的方法就是让actor去跟环境做互动,你要看actor好不好, 你就让actor去跟环境做互动,给critic看。然后,critic就统计说,

  • actor如果看到状态 sas_a,接下来的累积奖励会有多大。
  • 如果它看到状态 sbs_b,接下来的累积奖励会有多大。

但是实际上,你不可能把所有的状态通通都扫过。如果你是玩 Atari 游戏的话,状态是图像,你没有办法把所有的状态通通扫过。所以实际上 Vπ(s)V^{\pi}(s) 是一个网络。对一个网络来说,就算输入状态是从来都没有看过的,它也可以想办法估测一个值的值。

怎么训练这个网络呢?因为如果在状态 sas_a,接下来的累积奖励就是 GaG_a。也就是说,对这个价值函数来说,如果输入是状态 sas_a,正确的输出应该是 GaG_a。如果输入状态 sbs_b,正确的输出应该是值 GbG_b所以在训练的时候, 它就是一个 回归问题(regression problem) 网络的输出就是一个值,你希望在输入 sas_a 的时候,输出的值跟 GaG_a 越近越好,输入 sbs_b 的时候,输出的值跟 GbG_b 越近越好。接下来把网络训练下去,就结束了。这是 MC-based 的方法。

Temporal-difference(TD,时序差分法)

第二个方法是Temporal-difference(时序差分) 的方法, 即 TD-based 的方法。

在 MC-based 的方法中,每次我们都要算累积奖励,也就是从某一个状态 sas_a 一直玩到游戏结束的时候,得到的所有奖励的总和。所以你要使用 MC-based 的方法,你必须至少把这个游戏玩到结束。但有些游戏非常长,你要玩到游戏结束才能够更新网络,花的时间太长了,因此我们会采用 TD-based 的方法。

TD-based 的方法不需要把游戏玩到底,只要在游戏的某一个情况,某一个状态 sts_t 的时候,采取动作 ata_t 得到奖励rtr_t ,跳到状态 st+1s_{t+1},就可以使用 TD 的方法。

怎么使用 TD 的方法呢?这边是基于以下这个式子:

Vπ(st)=Vπ(st+1)+rtVπ(st)V^{\pi}\left(s_{t}\right)=V^{\pi}\left(s_{t+1}\right)+r_{t}Vπ(st)

假设我们现在用的是某一个策略π\pi,在状态 sts_t,它会采取动作 ata_t ,给我们奖励 rtr_t ,接下来进入 st+1s_{t+1} 。状态 st+1s_{t+1} 的值跟状态 sts_t 的值,它们的中间差了一项 rtr_t。因为你把 st+1s_{t+1} 得到的值加上得到的奖励 rtr_t 就会等于 sts_t 得到的值。有了这个式子以后,你在训练的时候,你并不是直接去估测 V,而是希望你得到的结果 V 可以满足这个式子。

也就是说你会是这样训练的,你把 sts_t 丢到网络里面,因为 sts_t 丢到网络里面会得到 Vπ(st)V^{\pi}(s_t),把 st+1s_{t+1} 丢到你的值网络里面会得到 Vπ(st+1)V^{\pi}(s_{t+1}),这个式子告诉我们,Vπ(st)V^{\pi}(s_t)Vπ(st+1)V^{\pi}(s_{t+1}) 的值应该是 rtr_t。然后希望它们两个相减的 loss 跟 rtr_t 越接近,训练下去,更新 V 的参数,你就可以把 V function 学习出来。

MC vs TD

MC 跟 TD 有什么样的差别呢?

MC 最大的问题就是方差很大。 因为我们在玩游戏的时候,它本身是有随机性的。所以你可以把 GaG_a 看成一个随机变量。因为你每次同样走到 sas_a 的时候,最后你得到的 GaG_a 其实是不一样的。你看到同样的状态 sas_a,最后玩到游戏结束的时候,因为游戏本身是有随机性的,玩游戏的模型搞不好也有随机性,所以你每次得到的 GaG_a 是不一样的,每一次得到 GaG_a 的差别其实会很大。为什么它会很大呢?因为 GaG_a 其实是很多个不同的步骤的奖励的和。假设你每一个步骤都会得到一个奖励,GaG_a 是从状态 sas_a 开始,一直玩到游戏结束,每一个步骤的奖励的和。

举例来说,我在右上角就列一个式子是说:

Var[kX]=k2Var[X]\operatorname{Var}[k X]=k^{2} \operatorname{Var}[X]

Var 是指 variance。 通过这个式子,我们知道 GaG_a 的方差相较于某一个状态的奖励,它会是比较大的。

如果用 TD 的话,你是要去最小化这样的一个式子:

r+Vπ(st+1)Vπ(st)r+V^{\pi}(s_{t+1}) - V^{\pi}(s_t)

在这中间会有随机性的是 r。因为计算你在 sts_t 采取同一个动作,你得到的奖励也不一定是一样的,所以 r 是一个随机变量。但这个随机变量的方差会比 GaG_a 还要小,因为 GaG_a 是很多 r 合起来,这边只是某一个 r 而已。GaG_a 的方差会比较大,r 的方差会比较小。但是这边你会遇到的一个问题是你这个 V 不一定估得准。假设你的这个 V 估得是不准的,那你使用这个式子学习出来的结果,其实也会是不准的。

所以 MC 跟 TD 各有优劣。今天其实 TD 的方法是比较常见的,MC 的方法其实是比较少用的。

举个例子吧!

上图是讲 TD 跟 MC 的差异。 假设有某一个critic,它去观察某一个策略 π\pi 跟环境互动的 8 个 episode 的结果。有一个actor π\pi 跟环境互动了8 次,得到了8 次玩游戏的结果。接下来这个critic去估测状态的值。

我们先计算 sbs_b 的值。 sbs_b 这个状态 在 8 场游戏里面都有经历过,其中有 6 场得到奖励 1,有 2 场得到奖励 0。所以如果你是要算期望值的话,就算看到状态 sbs_b 以后得到的奖励,一直到游戏结束的时候得到的累积奖励期望值是 3/4,计算过程如下式所示:

6×1+2×08=68=34\frac{6 \times 1 + 2 \times 0}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}

sas_a 期望的奖励到底应该是多少呢? 这边其实有两个可能的答案:一个是 0,一个是 3/4。为什么有两个可能的答案呢?这取决于你用 MC 还是TD。用 MC 跟用 TD 算出来的结果是不一样的。

  • 假如你用 MC 的话,你会发现这个 sas_a 就出现一次,看到 sas_a 这个状态,接下来累积奖励就是 0,所以 sas_a 期望奖励就是 0。

  • 但 TD 在计算的时候,它要更新下面这个式子:

    Vπ(sa)=Vπ(sb)+rVπ(sa)V^{\pi}\left(s_{a}\right)=V^{\pi}\left(s_{b}\right)+rVπ(sa)

    因为我们在状态 sas_a 得到奖励 r=0 以后,跳到状态 sbs_b。所以状态 sbs_b 的奖励会等于状态 sbs_b 的奖励加上在状态 sas_a 跳到状态 sbs_b 的时候可能得到的奖励 r。而这个得到的奖励 r 的值是 0,sbs_b 期望奖励是 3/4,那 sas_a 的奖励应该是 3/4。

用 MC 跟 TD 估出来的结果很有可能是不一样的。就算critic观察到一样的训练数据,它最后估出来的结果也不一定是一样的。为什么会这样呢?你可能问说,哪一个结果比较对呢?其实就都对。

因为在第一个 trajectory, sas_a 得到奖励 0 以后,再跳到 sbs_b 也得到奖励 0。这边有两个可能。

  • 一个可能是: sas_a 是一个标志性的状态,只要看到 sas_a 以后,sbs_b 就会拿不到奖励,sas_a 可能影响了 sbs_b。如果是用 MC 的算法的话,它会把 sas_a 影响 sbs_b 这件事考虑进去。所以看到 sas_a 以后,接下来 sbs_b 就得不到奖励,sbs_b 期望的奖励是 0。
  • 另一个可能是:看到 sas_a 以后,sbs_b 的奖励是 0 这件事只是一个巧合,并不是 sas_a 所造成,而是因为说 sbs_b 有时候就是会得到奖励 0,这只是单纯运气的问题。其实平常 sbs_b 会得到奖励期望值是 3/4,跟 sas_a 是完全没有关系的。所以假设 sas_a 之后会跳到 sbs_b,那其实得到的奖励按照 TD 来算应该是 3/4。

所以不同的方法考虑了不同的假设,运算结果不同。


State-action Value Function(Q-function)

Another Critic

还有另外一种critic叫做 Q-function。它又叫做state-action value function(状态-动作价值函数)

  • 状态价值函数的输入是一个状态,它是根据状态去计算出,看到这个状态以后的期望的累积奖励( expected accumulated reward)是多少。
  • 状态-动作价值函数的输入是一个状态、动作对,它的意思是说,在某一个状态采取某一个动作,假设我们都使用actor π\pi ,得到的累积奖励的期望值有多大。

Q-function 有一个需要注意的问题是,这个actor π\pi,在看到状态 s 的时候,它采取的动作不一定是 a。Q-function 假设在状态 s 强制采取动作 a。不管你现在考虑的这个actor π\pi, 它会不会采取动作 a,这不重要。在状态 s 强制采取动作 a。接下来都用actor π\pi 继续玩下去,就只有在状态 s,我们才强制一定要采取动作 a,接下来就进入自动模式,让actor π\pi 继续玩下去,得到的期望奖励才是 Qπ(s,a)Q^{\pi}(s,a)

Q-function 有两种写法:

  • 输入是状态跟动作,输出就是一个标量;
  • 输入是一个状态,输出就是好几个值。

假设动作是离散的,动作就只有 3 个可能:往左往右或是开火。那这个 Q-function 输出的 3 个值就分别代表 a 是向左的时候的 Q 值,a 是向右的时候的 Q 值,还有 a 是开火的时候的 Q 值。

那你要注意的事情是,上图右边的函数只有离散动作才能够使用。如果动作是无法穷举的,你只能够用上图左边这个式子,不能够用右边这个式子。

上图是文献上的结果,你去估计 Q-function 的话,看到的结果可能会像是这个样子。这是什么意思呢?它说假设我们有 3 个动作:原地不动、向上、向下。

  • 假设是在第一个状态,不管是采取哪个动作,最后到游戏结束的时候,得到的期望奖励其实都差不多。因为球在这个地方,就算是你向下,接下来你应该还可以急救。所以不管采取哪个动作,都差不了太多。
  • 假设在第二个状态,这个乒乓球它已经反弹到很接近边缘的地方,这个时候你采取向上,你才能得到正的奖励,才接的到球。如果你是站在原地不动或向下的话,接下来你都会错过这个球。你得到的奖励就会是负的。
  • 假设在第三个状态,球很近了,所以就要向上。
  • 假设在第四个状态,球被反弹回去,这时候采取哪个动作就都没有差了。

这是状态-动作价值的一个例子。

Another Way to use Critic

虽然表面上我们学习一个 Q-function,它只能拿来评估某一个actor π\pi 的好坏,但只要有了这个 Q-function,我们就可以做强化学习。有了这个 Q-function,我们就可以决定要采取哪一个动作,我们就可以进行策略改进(Policy Improvement)

它的大原则是这样,假设你有一个初始的actor,也许一开始很烂,随机的也没有关系。初始的actor叫做 π\pi,这个 π\pi 跟环境互动,会收集数据。接下来你学习一个 π\pi 这个actor的 Q 值,你去衡量一下 π\pi 在某一个状态强制采取某一个动作,接下来用 π\pi 这个策略 会得到的期望奖励,用 TD 或 MC 都是可以的。你学习出一个 Q-function 以后,就使用贪婪策略保证你可以找到一个新的策略 π\pi' ,policy π\pi' 一定会比原来的策略 π\pi 还要好。那等一下会定义说,什么叫做好。所以假设你有一个 Q-function 和某一个策略 π\pi,你根据策略 π\pi 学习出策略 π\pi 的 Q-function,接下来保证你可以找到一个新的策略 π\pi' ,它一定会比 π\pi 还要好,然后你用 π\pi' 取代 π\pi,再去找它的 Q-function,得到新的以后,再去找一个更好的策略。这样一直循环下去,policy 就会越来越好。

上图就是讲我们刚才讲的到底是什么。

  • 首先要定义的是什么叫做比较好?我们说 π\pi' 一定会比 π\pi 还要好,什么叫做好呢?这边好是说,对所有可能的状态 s 而言,π\pi 的价值函数 一定会小于 π\pi' 的价值函数。也就是说我们走到同一个状态 s 的时候,如果拿 π\pi 继续跟环境互动下去,我们得到的奖励一定会小于用 π\pi' 跟环境互动下去得到的奖励。所以不管在哪一个状态,你用 π\pi' 去做交互,得到的期望奖励一定会比较大。所以 π\pi' 是比 π\pi 还要好的一个策略。

  • 有了这个 Q-function 以后,怎么找这个 π\pi' 呢?如果你根据以下的这个式子去决定你的 动作,

    π(s)=argmaxaQπ(s,a)\pi^{\prime}(s)=\arg \max _{a} Q^{\pi}(s, a)

根据上式去决定你的动作的步骤叫做 π\pi' 的话,那 π\pi' 一定会比 π\pi 还要好。这个意思是说,假设你已经学习出 π\pi 的 Q-function,今天在某一个状态 s,你把所有可能的动作 a 都一一带入这个 Q-function,看看哪一个 a 可以让 Q-function 的值最大,那这个动作就是 π\pi' 会采取的动作。

这边要注意一下,给定这个状态 s,你的策略 π\pi 并不一定会采取动作a,我们是给定某一个状态 s 强制采取动作 a,用 π\pi 继续互动下去得到的期望奖励,这个才是 Q-function 的定义。所以在状态 s 里面不一定会采取动作 a。用 π\pi' 在状态 s 采取动作 a 跟 π\pi 采取的动作是不一定会一样的,π\pi' 所采取的动作会让它得到比较大的奖励。

  • 所以这个 π\pi' 是用 Q-function 推出来的,没有另外一个网络决定 π\pi' 怎么交互,有 Q-function 就可以找出 π\pi'
  • 但是这边有另外一个问题就是,在这边要解一个 arg max 的问题,所以 a 如果是连续的就会有问题。如果是离散的,a 只有 3 个选项,一个一个带进去, 看谁的 Q 最大,没有问题。但如果 a 是连续的,要解 arg max 问题,你就会有问题。

接下来讲一下为什么用 Qπ(s,a)Q^{\pi}(s,a) 决定出来的 π\pi' 一定会比 π\pi 好。

假设有一个策略叫做 π\pi',它是由 QπQ^{\pi}决定的。我们要证对所有的状态 s 而言:Vπ(s)Vπ(s)V^{\pi^{\prime}}(s) \geq V^{\pi}(s)

怎么证呢?我们先把 Vπ(s)V^{\pi}(s) 写出来:

Vπ(s)=Qπ(s,π(s))V^{\pi}(s)=Q^{\pi}(s, \pi(s))

假设在状态 s follow π\pi 这个actor,它会采取的动作就是π(s)\pi(s),那你算出来的 Qπ(s,π(s))Q^{\pi}(s, \pi(s))会等于 Vπ(s)V^{\pi}(s)。一般而言,Qπ(s,π(s))Q^{\pi}(s, \pi(s))不一定等于 Vπ(s)V^{\pi}(s),因为动作不一定是π(s)\pi(s)。但如果这个动作是π(s)\pi(s) 的话,Qπ(s,π(s))Q^{\pi}(s, \pi(s)) 是等于 Vπ(s)V^{\pi}(s)的。

Qπ(s,π(s))Q^{\pi}(s, \pi(s)) 还满足如下的关系:

Qπ(s,π(s))maxaQπ(s,a)Q^{\pi}(s, \pi(s)) \le \max _{a} Q^{\pi}(s, a)

因为 a 是所有动作里面可以让 Q 最大的那个动作,所以今天这一项一定会比它大。这一项就是 Qπ(s,a)Q^{\pi}(s, a),a就是 π(s)\pi'(s)。因为 π(s)\pi'(s) 输出的 a 就是可以让 Qπ(s,a)Q^\pi(s,a) 最大的那一个,所以我们得到了下面的式子:

maxaQπ(s,a)=Qπ(s,π(s))\max _{a} Q^{\pi}(s, a)=Q^{\pi}\left(s, \pi^{\prime}(s)\right)

于是:

Vπ(s)Qπ(s,π(s))V^{\pi}(s) \leq Q^{\pi}\left(s, \pi^{\prime}(s)\right)

也就是说某一个状态,如果你按照策略 π\pi 一直做下去,你得到的奖励一定会小于等于,在这个状态 s 你故意不按照 π\pi 所给你指示的方向,而是按照 π\pi' 的方向走一步,但只有第一步是按照 π\pi' 的方向走,只有在状态 s 这个地方,你才按照 π\pi' 的指示走,接下来你就按照 π\pi 的指示走。虽然只有一步之差, 但是从上面这个式子可知,虽然只有一步之差,但你得到的奖励一定会比完全 follow π\pi 得到的奖励还要大。

接下来要证下面的式子:

Qπ(s,π(s))Vπ(s)Q^{\pi}\left(s, \pi^{\prime}(s) \right) \le V^{\pi'}(s)

也就是说,只有一步之差,你会得到比较大的奖励。但假设每步都是不一样的,每步都是 follow π\pi' 而不是 π\pi 的话,那你得到的奖励一定会更大。 如果你要用数学式把它写出来的话,你可以写成 Qπ(s,π(s))Q^{\pi}\left(s, \pi^{\prime}(s)\right),它的意思就是说,我们在状态 sts_t 采取动作 ata_t,得到奖励 rtr_{t},然后跳到状态 st+1s_{t+1},即如下式所示:

Qπ(s,π(s))=E[rt+Vπ(st+1)st=s,at=π(st)]Q^{\pi}\left(s, \pi^{\prime}(s)\right)=E\left[r_t+V^{\pi}\left(s_{t+1}\right) \mid s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right]

在文献上有时也会说:在状态 sts_t 采取动作 ata_t 得到奖励 rt+1r_{t+1}, 有人会写成 rtr_t,但意思其实都是一样的。

在状态 s 按照 π\pi' 采取某一个动作 ata_t ,得到奖励 rtr_{t},然后跳到状态 st+1s_{t+1}Vπ(st+1)V^{\pi}\left(s_{t+1}\right)是状态 st+1s_{t+1} 根据 π\pi 这个actor所估出来的值。因为在同样的状态采取同样的动作,你得到的奖励和会跳到的状态不一定一样, 所以这边需要取一个期望值

因为Vπ(s)Qπ(s,π(s))V^{\pi}(s) \leq Q^{\pi}\left(s, \pi^{\prime}(s)\right),也就是 Vπ(st+1)Qπ(st+1,π(st+1))V^{\pi}(s_{t+1}) \leq Q^{\pi}\left(s_{t+1},\pi'(s_{t+1})\right),所以我们得到下式:

E[rt+Vπ(st+1)st=s,at=π(st)]E[rt+Qπ(st+1,π(st+1))st=s,at=π(st)]\begin{array}{l} E\left[r_{t}+V^{\pi}\left(s_{t+1}\right) | s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \\ \leq E\left[r_{t}+Q^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi^{\prime}\left(s_{t+1}\right)\right) | s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \end{array}

因为 Qπ(st+1,π(st+1))=rt+1+Vπ(st+2)Q^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi^{\prime}\left(s_{t+1}\right)\right) = r_{t+1}+V^{\pi}\left(s_{t+2}\right),所以我们得到下式:

E[rt+Qπ(st+1,π(st+1))st=s,at=π(st)]=E[rt+rt+1+Vπ(st+2)st=s,at=π(st)]\begin{array}{l} E\left[r_{t}+Q^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi^{\prime}\left(s_{t+1}\right)\right) | s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \\ =E\left[r_{t}+r_{t+1}+V^{\pi}\left(s_{t+2}\right) | s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \end{array}

然后你再代入 Vπ(s)Qπ(s,π(s))V^{\pi}(s) \leq Q^{\pi}\left(s, \pi^{\prime}(s)\right),一直算到回合结束,即:

Vπ(s)Qπ(s,π(s))=E[rt+Qπ(st+1,π(st+1))st=s,at=π(st)]=E[rt+rt+1+Vπ(st+2)st=s,at=π(st)]E[rt+rt+1+Qπ(st+2,π(st+2)st=s,at=π(st)]=E[rt+rt+1+rt+2+Vπ(st+3)st=s,at=π(st)]E[rt+rt+1+rt+2+st=s,at=π(st)]=Vπ(s)\begin{aligned} V^{\pi}(s) &\le Q^{\pi}(s,\pi'(s)) \\ &= E\left[r_{t}+Q^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi^{\prime}\left(s_{t+1}\right)\right) | s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \\ &=E\left[r_{t}+r_{t+1}+V^{\pi}\left(s_{t+2}\right) |s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \\ & \le E\left[r_{t}+r_{t+1}+Q^{\pi}\left(s_{t+2},\pi'(s_{t+2}\right) | s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \\ & = E\left[r_{t}+r_{t+1}+r_{t+2}+V^{\pi}\left(s_{t+3}\right) |s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \\ & \le \cdots\\ & \le E\left[r_{t}+r_{t+1}+r_{t+2}+\cdots | s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \\ & = V^{\pi'}(s) \end{aligned}

因此:

Vπ(s)Vπ(s)V^{\pi}(s)\le V^{\pi'}(s)

从这边我们可以知道,你可以估计某一个策略的 Q-function,接下来你就可以找到另外一个策略 π\pi' 比原来的策略还要更好。当然这里你后面的推到没看懂也没事

Target Network(tip 1:目标网络)

接下来讲一下在 DQN 里你一定会用到的 tip。第一个是 目标网络(target network),什么意思呢?我们在学习 Q-function 的时候,也会用到 TD 的概念。那怎么用 TD?你现在收集到一个数据, 是说在状态 sts_t,你采取动作 ata_t 以后,你得到奖励 rtr_t ,然后跳到状态 st+1s_{t+1}。然后根据这个 Q-function,你会知道说

Qπ(st,at)=rt+Qπ(st+1,π(st+1))\mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t}, a_{t}\right) =r_{t}+\mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi\left(s_{t+1}\right)\right)

所以你在学习的时候,你会说我们有 Q-function,输入 sts_t, ata_t 得到的值,跟输入 st+1s_{t+1}, π(st+1)\pi (s_{t+1}) 得到的值中间,我们希望它差了一个 rtr_t, 这跟刚才讲的 TD 的概念是一样的。

但是实际上这样的一个输入并不好学习,因为假设这是一个回归问题,Qπ(st,at)\mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t}, a_{t}\right)是网络的输出,rt+Qπ(st+1,π(st+1))r_{t}+\mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi\left(s_{t+1}\right)\right) 是目标,你会发现目标是会动的。当然你要实现这样的训练,其实也没有问题,就是你在做反向传播的时候, QπQ^{\pi}的参数会被更新,你会把两个更新的结果加在一起。因为它们是同一个模型 QπQ^{\pi}, 所以两个更新的结果会加在一起。但这样会导致训练变得不太稳定,因为假设你把 Qπ(st,at)\mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t}, a_{t}\right) 当作你模型的输出,rt+Qπ(st+1,π(st+1))r_{t}+\mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi\left(s_{t+1}\right)\right) 当作目标的话,你要去拟合的目标是一直在变的,这种一直在变的目标的训练是不太好训练的。

所以你会把其中一个 Q 网络,通常是你会把右边这个 Q 网络固定住。也就是说你在训练的时候,你只更新左边的 Q 网络的参数,而右边的 Q 网络的参数会被固定住。因为右边的 Q 网络负责产生目标,所以叫 目标网络。因为目标网络是固定的,所以你现在得到的目标 rt+Qπ(st+1,π(st+1))r_{t}+\mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi\left(s_{t+1}\right)\right) 的值也是固定的。因为目标网络是固定的,我们只调左边网络的参数,它就变成是一个回归问题。我们希望模型的输出的值跟目标越接近越好,你会最小化它的均方误差(mean square error)。

在实现的时候,你会把左边的 Q 网络更新好几次以后,再去用更新过的 Q 网络替换这个目标网络。但它们两个不要一起动,它们两个一起动的话,结果会很容易坏掉。

一开始这两个网络是一样的,然后在训练的时候,你会把右边的 Q 网络固定住。你在做梯度下降的时候,只调左边这个网络的参数,那你可能更新 100 次以后才把这个参数复制到右边的网络去,把它盖过去。把它盖过去以后,你这个目标值就变了。就好像说你本来在做一个回归问题,那你训练 后把这个回归问题的 loss 压下去以后,接下来你把这边的参数把它复制过去以后,你的目标就变掉了,接下来就要重新再训练。

Intuition(例子)

我们可以通过猫追老鼠的例子来直观地理解为什么要 fix target network。猫是 Q estimation,老鼠是 Q target。一开始的话,猫离老鼠很远,所以我们想让这个猫追上老鼠。

因为 Q target 也是跟模型参数相关的,所以每次优化后,Q target 也会动。这就导致一个问题,猫和老鼠都在动。

然后它们就会在优化空间里面到处乱动,就会产生非常奇怪的优化轨迹,这就使得训练过程十分不稳定。所以我们可以固定 Q target,让老鼠动得不是那么频繁,可能让它每 5 步动一次,猫则是每一步都在动。如果老鼠每 5 次动一步的话,猫就有足够的时间来接近老鼠。然后它们之间的距离会随着优化过程越来越小,最后它们就可以拟合,拟合过后就可以得到一个最好的Q 网络。

Exploration(tip2:探索)

第二个 tip 是探索(Exploration) 当我们使用 Q-function 的时候,policy 完全取决于 Q-function。给定某一个状态,你就穷举所有的 a, 看哪个 a 可以让 Q 值最大,它就是采取的动作。这个跟策略梯度不一样,在做策略梯度的时候,输出其实是随机的。我们输出一个动作的分布,根据这个动作的分布去做采样, 所以在策略梯度里面,你每次采取的动作是不一样的,是有随机性的。

像这种 Q-function, 如果你采取的动作总是固定的,会有什么问题呢?

你会遇到的问题就是这不是一个好的收集数据的方式。因为假设我们今天真的要估某一个状态,你可以采取动作 a1a_{1}, a2a_{2}, a3a_{3}。你要估测在某一个状态采取某一个动作会得到的 Q 值,你一定要在那一个状态采取过那一个动作,才估得出它的值。如果你没有在那个状态采取过那个动作,你其实估不出那个值的。如果是用深的网络,就你的 Q-function 是一个网络,这种情形可能会没有那么严重。但是一般而言,假设 Q-function 是一个表格,没有看过的 state-action pair,它就是估不出值来。网络也是会有一样的问题,只是没有那么严重。所以今天假设你在某一个状态,动作 a1a_{1}, a2a_{2}, a3a_{3}你都没有采取过,那你估出来的 Q(s,a1)Q(s,a_{1}), Q(s,a2)Q(s,a_{2}), Q(s,a3)Q(s,a_{3})的值可能都是一样的,就都是一个初始值,比如说 0,即

Q(s,a1)=0Q(s,a2)=0Q(s,a3)=0Q(s,a_1)=0 \\ Q(s,a_2)=0 \\ Q(s,a_3)=0

但是假设你在状态 s,你采样过某一个动作 a2a_{2} ,它得到的值是正的奖励。那 Q(s,a2)Q(s, a_2) 就会比其他的动作都要好。在采取动作的时候, 就看说谁的 Q 值 最大就采取谁,所以之后你永远都只会采样到 a2a_{2},其他的动作就再也不会被做了,所以就会有问题。就好像说你进去一个餐厅吃饭,其实你都很难选。你今天点了某一个东西以后,假说点了某一样东西, 比如说椒麻鸡,你觉得还可以。接下来你每次去就都会点椒麻鸡,再也不会点别的东西了,那你就不知道说别的东西是不是会比椒麻鸡好吃,这个是一样的问题。

如果你没有好的探索的话, 你在训练的时候就会遇到这种问题。举个例子, 假设你用 DQN 来玩slither.io

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你会有一个蛇,它在环境里面就走来走去,吃到星星,它就加分。假设这个游戏一开始,它往上走,然后就吃到那个星星,它就得到分数,它就知道说往上走可以得到奖励。接下来它就再也不会采取往上走以外的动作了,所以接下来就会变成每次游戏一开始,它就往上冲,然后就死掉。所以需要有探索的机制,让机器知道说,虽然根据之前采样的结果,a2a_2 好像是不错的,但你至少偶尔也试一下 a1a_{1}a3a_{3},说不定它们更好。

这个问题其实就是探索-利用窘境(Exploration-Exploitation dilemma)问题。

有两个方法解这个问题:

  • Epsilon Greedy
  • Boltzmann Exploration

Epsilon Greedy

Epsilon Greedy(ε-greedy\varepsilon\text{-greedy}) 的意思是说,我们有 1ε1-\varepsilon 的概率会按照 Q-function 来决定 动作,通常 ε\varepsilon 就设一个很小的值, 1ε1-\varepsilon 可能是 90%,也就是 90% 的概率会按照 Q-function 来决定 动作,但是你有 10% 的机率是随机的。通常在实现上 \varepsilonε 会随着时间递减。在最开始的时候。因为还不知道那个动作是比较好的,所以你会花比较大的力气在做探索。接下来随着训练的次数越来越多。已经比较确定说哪一个 Q 是比较好的。你就会减少你的探索,你会把 ε\varepsilon 的值变小,主要根据 Q-function 来决定你的动作,比较少随机决定动作,这是 Epsilon Greedy。

Boltzmann Exploration

Boltzmann Exploration这个方法就比较像是策略梯度。在策略梯度里面,网络的输出是一个期望的动作空间上面的一个的概率分布,再根据概率分布去做采样。那其实你也可以根据 Q 值 去定一个概率分布,假设某一个动作的 Q 值越大,代表它越好,我们采取这个动作的机率就越高。但是某一个动作的 Q 值小,不代表我们不能尝试。

Q: 我们有时候也要尝试那些 Q 值比较差的动作,怎么做呢?

A: 因为 Q 值是有正有负的,所以可以它弄成一个概率,你先取指数,再做归一化。然后把 exp(Q(s,a))\exp(Q(s,a)) 做归一化的这个概率当作是你在决定动作的时候采样的概率。在实现上,Q 是一个网络,所以你有点难知道, 在一开始的时候网络的输出到底会长怎么样子。假设你一开始没有任何的训练数据,参数是随机的,那给定某一个状态 s,不同的 a 输出的值可能就是差不多的,所以一开始 Q(s,a)Q(s,a) 应该会倾向于是均匀的。也就是在一开始的时候,你这个概率分布算出来,它可能是比较均匀的。

Experience Replay(tip 3:经验回放)

第三个 tip 是 Experience Replay(经验回放) Experience Replay 会构建一个 Replay Buffer,Replay Buffer 又被称为 Replay Memory。Replay Buffer 是说现在会有某一个策略π\pi 去跟环境做互动,然后它会去收集数据。我们会把所有的数据 放到一个 buffer 里面,buffer 里面就存了很多数据。比如说 buffer 是 5 万,这样它里面可以存 5 万笔资料,每一笔资料就是记得说,我们之前在某一个状态 sts_t,采取某一个动作 ata_t,得到了奖励 rtr_t。然后跳到状态 st+1s_{t+1}。那你用 π\pi 去跟环境互动很多次,把收集到的资料都放到这个 replay buffer 里面。

这边要注意是 replay buffer 里面的经验可能是来自于不同的策略,你每次拿 π\pi 去跟环境互动的时候,你可能只互动 10000 次,然后接下来你就更新你的 π\pi 了。但是这个 buffer 里面可以放 5 万笔资料,所以 5 万笔资料可能是来自于不同的策略。Buffer 只有在它装满的时候,才会把旧的资料丢掉。所以这个 buffer 里面它其实装了很多不同的策略的经验。

有了这个 buffer 以后,你是怎么训练这个 Q 的模型呢,怎么估 Q-function?你的做法是这样:你会迭代地去训练 这个 Q-function,在每次迭代里面,你从这个 buffer 里面随机挑一个 batch 出来,就跟一般的网络训练一样,你从那个训练集里面,去挑一个 batch 出来。你去采样一个 batch 出来,里面有一把的经验,根据这把经验去更新你的 Q-function。就跟 TD learning 要有一个目标网络是一样的。你去采样一堆 batch,采样一个 batch 的数据,采样一堆经验,然后再去更新你的 Q-function。

当我们这么做的时候, 它变成了一个 off-policy 的做法。因为本来我们的 Q 是要观察 π\pi 的经验,但实际上存在你的 replay buffer 里面的这些经验不是通通来自于 π\pi,有些是过去其他的 π\pi 所遗留下来的经验。因为你不会拿某一个 π\pi 就把整个 buffer 装满,然后拿去测 Q-function,这个 π\pi 只是采样一些数据塞到那个 buffer 里面去,然后接下来就让 Q 去训练。所以 Q 在采样的时候, 它会采样到过去的一些资料。

这么做有两个好处。

  • 第一个好处,其实在做强化学习的时候, 往往最花时间的步骤是在跟环境做互动,训练网络反而是比较快的。因为你用 GPU 训练其实很快, 真正花时间的往往是在跟环境做互动。用 replay buffer 可以减少跟环境做互动的次数,因为在做训练的时候,你的经验不需要通通来自于某一个策略。一些过去的策略所得到的经验可以放在 buffer 里面被使用很多次,被反复的再利用,这样让你的采样到经验的利用是比较高效的。
  • 第二个好处,在训练网络的时候,其实我们希望一个 batch 里面的数据越多样(diverse)越好。如果你的 batch 里面的数据都是同样性质的,你训练下去是容易坏掉的。如果 batch 里面都是一样的数据,你训练的时候,performance 会比较差。我们希望 batch 的数据越多样越好。那如果 buffer 里面的那些经验通通来自于不同的策略,那你采样到的一个 batch 里面的数据会是比较多样的。

Q:我们明明是要观察 π\pi 的值,里面混杂了一些不是 π\pi 的经验,这有没有关系?

A:没关系。这并不是因为过去的 π\pi 跟现在的 π\pi 很像, 就算过去的 π\pi 没有很像,其实也是没有关系的。主要的原因是因为, 我们并不是去采样一个 trajectory,我们只采样了一笔经验,所以跟是不是 off-policy 这件事是没有关系的。就算是 off-policy,就算是这些经验不是来自于 π\pi,我们其实还是可以拿这些经验来估测 Qπ(s,a)Q^{\pi}(s,a)。这件事有点难解释,不过你就记得说 Experience Replay 在理论上也是没有问题的。

DQN Algorithm

上图就是一般的 Deep Q-network(DQN) 的算法。

这个算法是这样的:

  • 初始化的时候,你初始化 2 个网络:Q 和 Q^\hat{Q},其实 Q^\hat{Q} 就等于 Q。一开始这个目标 Q 网络,跟你原来的 Q 网络是一样的

  • 在每一个 episode:

    • 你拿你的actor去跟环境做互动,在每一次互动的过程中:

      • 你都会得到一个状态 sts_t,那你会采取某一个动作 ata_t。怎么知道采取哪一个动作 ata_t 呢?你就根据你现在的 Q-function。但是你要有探索的机制。比如说你用 Boltzmann 探索或是 Epsilon Greedy 的探索。

      • 那接下来你得到奖励 rtr_t,然后跳到状态 st+1s_{t+1}

      • 所以现在收集到一笔数据,这笔数据是 (sts_t, ata_t ,rtr_t, st+1s_{t+1})。这笔数据就塞到你的 buffer 里面去。如果 buffer 满的话, 你就再把一些旧的资料丢掉。

      • 接下来你就从你的 buffer 里面去采样数据,那你采样到的是 (si,ai,ri,si+1)(s_{i}, a_{i}, r_{i}, s_{i+1})这笔数据跟你刚放进去的不一定是同一笔,你可能抽到一个旧的。要注意的是,其实你采样出来不是一笔数据,你采样出来的是一个 batch 的数据,你采样一个 batch 出来,采样一把经验出来。

      • 接下来就是计算你的目标。假设你采样出这么一笔数据。根据这笔数据去算你的目标。你的目标是什么呢?目标记得要用目标网络 Q^\hat{Q} 来算。目标是:

        y=ri+maxaQ^(si+1,a)y=r_{i}+\max _{a} \hat{Q}\left(s_{i+1}, a\right)

        其中 a 就是让 Q^\hat{Q} 的值最大的 a。因为我们在状态 si+1s_{i+1} 会采取的动作 a,其实就是那个可以让 Q 值最大的那一个 a。

      • 接下来我们要更新 Q 的值,那就把它当作一个回归问题。希望 Q(si,ai)Q(s_i,a_i) 跟你的目标越接近越好。

      • 然后假设已经更新了某一个数量的次,比如说 C 次,设 C = 100, 那你就把 Q^\hat{Q} 设成 Q,这就是 DQN。

Q: DQN 和 Q-learning 有什么不同?

A: 整体来说,DQN 与 Q-learning 的目标价值以及价值的更新方式都非常相似,主要的不同点在于:

  • DQN 将 Q-learning 与深度学习结合,用深度网络来近似动作价值函数,而 Q-learning 则是采用表格存储;
  • DQN 采用了经验回放的训练方法,从历史数据中随机采样,而 Q-learning 直接采用下一个状态的数据进行学习。
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六经蕴籍胸中久,一剑十年磨在手

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